נושא: הגיאומטריה של ההרמוניה ה-11
פרק: צליל, מספר, צורה, חול וסוד
זמן: כ-8 דקות קריאה
פורטים פעם אחת על מיתר נמוך ונותנים לו לרעוד. מה ששומעים נשמע כמו צליל אחד, אבל הוא בעצם מקהלה שלמה. מעל הצליל הבסיסי מרחפים עוד ועוד צלילים חלשים, כל אחד גבוה מקודמו, בסדר קבוע שהטבע לא שוכח אף פעם. רובם מוכרים לאוזן: האוקטבה, הקווינטה, האקורד המז'ורי. ואז, במקום האחד־עשר, מופיע צליל שלא שייך. הוא לא נמצא על אף קליד בפסנתר. הוא נופל בדיוק בסדק שבין שני קלידים, ומי ששומע אותו לבד מרגיש שמשהו קצת זז ממקומו. מוזיקאים בהרי האלפים הכירו אותו מאות שנים. מתמטיקאים מכירים את הצורה שלו, צורה שאי אפשר לבנות בסרגל ובמחוגה ושאי אפשר לרצף בה רצפה. והמסורת העברית כתבה עליו, בלי לקרוא לו בשם, משפט אחד חד: "עשר ולא אחת עשרה".
אמל"ק
- ההרמוניה ה-11 היא הצליל האחד־עשר בסדרה ההרמונית, שמסתתר בתוך כל צליל טבעי. היא נופלת בין הרביעית לטריטון, מחוץ לכל קליד בפסנתר.
- המאמר עובר בין הצליל (ה"אלפהורן פה" השווייצרי והסולם בן 43 הצלילים של הארי פרץ'), המספר 11, והצורה שלו: מצולע בן 11 צלעות שאי אפשר לבנות בסרגל ובמחוגה, ושאף אריח לא מרצף.
- גם מה החול על לוחות כלאדני באמת מראה, ומה לא. ולמה ספר יצירה מתעקש על "עשר ולא אחת עשרה", ואיפה נכנסת הדעת, הספירה הנסתרת.
- המאמר מפריד בין עובדה לסמל: מה מוכח במתמטיקה ובאקוסטיקה, ומה הוא חרוז יפה של משמעות.
- מיועד למוזיקאים, למי שאוהבים גיאומטריה מקודשת, ולכל מי שאי פעם הרגיש שהצליל הכי מעניין הוא דווקא זה שלא נכנס לתבנית.
סרטונים להעמקה
1. איך נשמעת הסדרה ההרמונית
Alex Chen: איך נשמעת הסדרה ההרמונית – לשמוע את הצלילים שמסתתרים בתוך צליל אחד
2. הסולם של הארי פרץ'
12tone: הארי פרץ' וסולם הבראשית – המלחין שבנה סולם של 43 צלילים סביב ההרמוניות הגבוהות
3. דמויות כלאדני
Steve Mould: דמויות כלאדני – איך גרגרים אקראיים נאספים לצורות כשהלוח רוטט
מיתר אחד, מקהלה שלמה
צליל שהטבע שם בתוך כל צליל, ושהתרבות לא בנתה לו מקום.
כל צליל שמגיע מכלי אמיתי, מיתר, עמוד אוויר או קול אנושי, מורכב מתדר בסיסי ומשרשרת של תדרים שהם הכפולות השלמות שלו: פי שניים, פי שלושה, פי ארבעה וכן הלאה. זו הסדרה ההרמונית. המיתר רוטט בבת אחת לכל אורכו, וגם בחצאים, בשלישים, ברבעים. האוזן לא שומעת את החלקים בנפרד. היא שומעת אותם כ"צבע" של הצליל, ההבדל בין כינור לחליל באותו תו בדיוק.
ההרמוניות הראשונות בנו את המוזיקה שלנו. פי שניים הוא אוקטבה, היחס 2:3 הוא קווינטה, 4:5 הוא טרצה גדולה. מכאן האקורד המז'ורי, ומכאן תחושת ה"בית" של המוזיקה המערבית. אבל ככל שעולים בסדרה, הצלילים מתרחקים מהמקשים. השביעית כבר נמוכה במידה ניכרת מהתו הקרוב אליה בפסנתר. והאחת־עשרה נוחתת במקום שאין לו שם: היחס 11:8 שווה לכ-551 סנט, כמעט בדיוק באמצע בין הרביעית (500) לטריטון (600). לא פָה ולא פָה דיאז. צליל שהטבע שם בתוך כל צליל, ושהתרבות לא בנתה לו מקום.
1
הצליל שבין הקלידים
מי שבנה לו מקום היו דווקא רועים. האלפהורן, קרן העץ הארוכה של הרי שווייץ, הוא כלי בלי מפתחות ובלי חורים, ולכן הוא יכול לנגן רק את הצלילים של הסדרה ההרמונית. כשהנגן עולה גבוה מספיק, הוא פוגש את ההרמוניה ה-11, והיא נשמעת כמו פה "עקום" ומוזר. בשווייצרית יש לה שם, "אלפהורן פה", והיא נשמעת גם בשירת היודל הטבעית. מה שבאוזן של מוזיקאי מערבי הוא זיוף, אצלם הוא הצליל של ההרים.
במאה העשרים הלך אחריהם הארי פרץ', מלחין אמריקאי עקשן שהחליט שהפסנתר משקר. הוא בנה סולם של 43 צלילים באוקטבה, שנשען על יחסים טבעיים עד המספר 11, ובנה בעצמו את הכלים שיכולים לנגן אותו. בספרו "בראשיתה של מוזיקה" (1949) הוא טען שהאוזן המערבית לא שמעה את רוב הצלילים שהטבע מציע לה. מי ששומע את המוזיקה שלו בפעם הראשונה מרגיש בדיוק את מה שההרמוניה ה-11 מעוררת: מקום שנראה מוכר, אבל הקירות בו עומדים בזווית קצת אחרת.
ואולי לכן הצליל הזה מושך. דיסוננס הוא לא רעש. הוא הרמוניה ממקום שעוד לא התרגלנו אליו.
2
אחת עשרה - המספר שלא מתקפל
כשמגיעים למספר 11, משהו קורה לספירה. עשר הוא סוף המחזור הראשון של האצבעות, ו-11 הוא המספר הראשוני הראשון שנכתב בשתי ספרות. הוא נראה כמו מראה: אחד מול אחד. וכשמכפילים אותו בעצמו, המראה ממשיכה: 11 כפול 11 הוא 121, ו-111 כפול 111 הוא 12321. מספרים שנקראים אותו דבר מימין ומשמאל, כאילו המספר מתקפל פנימה ונפתח שוב.
בנומרולוגיה המודרנית 11 נקרא "מספר מאסטר", מספר של אינטואיציה ושל שערים. זו כבר שפה של סמלים ולא של מתמטיקה, ושווה לומר את זה בקול. אבל גם המתמטיקה עצמה נותנת ל-11 מעמד מוזר, כמו שמתברר כשמנסים לצייר אותו.
3
צורה שאי אפשר לבנות
ליוונים היו שני כלים קדושים: סרגל בלי סימונים ומחוגה. בעזרתם בונים משולש שווה צלעות, ריבוע, מחומש ומשושה. בשנת 1796 גילה גאוס, אז בן 18, שאפשר לבנות כך גם מצולע בן 17 צלעות. ואחר כך הוכח איזה מצולעים אי אפשר לבנות לעולם, והמצולע בן 11 הצלעות, ההנדקגון, נמצא ברשימה. אפשר לצייר אותו בקירוב, ואפשר לבנות אותו בעזרת סרגל מסומן. בכלים הטהורים הוא חומק.
והוא חומק גם מהרצפה. משולשים, ריבועים ומשושים מרצפים מישור בלי רווחים, ובגבישים יכולה להופיע רק סימטריה של סיבוב בשניים, בשלושה, בארבעה או בשישה. כשדן שכטמן גילה ב-1982 חומר עם סימטריה של חמש, שלא אמורה הייתה להתקיים, אנשים צחקו עליו, ואחר כך הוא קיבל פרס נובל. הקוואזי־גבישים שהתגלו מאז מציגים סימטריות של חמש, שמונה, עשר ושתים־עשרה. אחת־עשרה לא ביניהן.
ובכל זאת הצורה הזאת קיימת בכיסים של מיליוני אנשים: למטבע הדולר הקנדי, ה"לוני", יש 11 צלעות. ומי שמחבר 11 נקודות על מעגל בדילוגים מקבל ארבעה כוכבים שונים, הנדקגרמות. צורה שלא נבנית, לא מרצפת ולא נסגרת עד הסוף, ועדיין יפה להפליא.
4
מה החול מראה
בשנת 1787 פיזר הפיזיקאי הגרמני ארנסט כלאדני חול על לוח מתכת והעביר קשת כינור על שפתו. החול רקד ונאסף לקווים, למקומות שבהם הלוח לא זז. כך נולדו "דמויות כלאדני", ובשנות השישים נתן להן החוקר השווייצרי הנס ייני שם, קימטיקה, תורת הגלים שהופכים לצורה. מאז הן הפכו לסמל: הצליל רואה את עצמו.
הרבה טקסטים ברשת מבטיחים שההרמוניה ה-11 יוצרת על הלוח צורות "כאוטיות" במיוחד, סדר גבוה שמסתתר בכאוס. כדאי לדייק כאן. הצורה על הלוח תלויה בגודל ובצורה של הלוח, בחומר, במקום שבו הוא מוחזק ובתדר המדויק. אין צורה אחת שהיא "של ההרמוניה ה-11". מה שנכון הוא שככל שהתדר עולה, הדמויות נעשות מורכבות ועדינות יותר, עד שהעין כמעט לא מספיקה לעקוב. ואולי זה השיעור האמיתי של החול: מה שנראה כאוטי הוא לפעמים סדר בצפיפות שעוד לא למדנו לקרוא.
5
עשר ולא אחת עשרה
בפרק הראשון של ספר יצירה, אחד הטקסטים העתיקים של המיסטיקה היהודית, נכתב: "עשר ספירות בלימה, עשר ולא תשע, עשר ולא אחת עשרה." הספר מתעקש על הגבול. עשר הוא השלם, ומי שמוסיף אחד מעליו טועה. ובכל זאת, בקבלה המאוחרת יש ספירה שנקראת דעת. היא יושבת במקום ריק על עץ החיים, בין החכמה לבינה, ובחלק מהשיטות היא נספרת רק כשהכתר, הספירה העליונה, לא נספר. ספירה שקיימת, ובכל זאת אסור שתהיה האחת־עשרה. מקום של ידיעה שעומדת בשער ולא נכנסת למניין.
ובקצה אחר לגמרי של התרבות, בפיזיקה העיונית, הציע אדוארד ויטן ב-1995 את תורת M, שבה ליקום יש 11 ממדים. אין קשר מוכח בין התורה הזאת לבין ההרמוניה ה-11, ואין סיבה לטעון שיש. אבל אפשר ליהנות מהחרוז: שוב ושוב, כשהמערכת השלמה נסגרת על עשר, מופיע מעבר לה אחד נוסף, נסתר, שמחזיק את השלם מבחוץ.
דף ההקשבה: ארבעה מפגשים עם ה-11
את ההרמוניה ה-11 לא מבינים, שומעים ומציירים. ארבעה תרגילים לימים הקרובים. סמנו כל אחד שניסיתם, והסימון יישמר אצלכם.
להקשיב
תרגיל 1 · לשמוע את ה-11
פתחו אפליקציה או אתר של מחולל צלילים. נגנו 110 הרץ, ואז הוסיפו מעליו 1210 הרץ, פי אחת־עשרה בדיוק. הקשיבו איך שני הצלילים מתמזגים לצבע אחד, ואיך הגבוה נשמע לבד כשמכבים את הנמוך.
תרגיל 2 · בין פה לפה דיאז
שירו בקול דו, ואחריו פה. עכשיו נסו להחליק לאט מפה לפה דיאז ולעצור באמצע הדרך. זה בערך האלפהורן פה. שימו לב מה הגוף מרגיש כשהקול נח במקום שאין לו שם.
לצייר
תרגיל 3 · כוכב בן אחד־עשר
סמנו 11 נקודות מרווחות ככל האפשר על מעגל, כל אחת כ-33 מעלות מהקודמת. חברו כל נקודה לנקודה השלישית אחריה, עד שהקו חוזר להתחלה. המצולע לא יצא מושלם, וזה בדיוק העניין: גם היוונים לא הצליחו.
תרגיל 4 · אחת עשרה נשימות
שבו בשקט וספרו עשר נשימות. בנשימה האחת־עשרה אל תספרו. רק הקשיבו למה שקורה כשהספירה נגמרת והנשימה ממשיכה.
בין עובדה לסמל
מה שמוכח: ההרמוניה ה-11 קיימת בכל צליל טבעי, המצולע בן 11 הצלעות לא נבנה בסרגל ובמחוגה, וסימטריה של 11 לא מרצפת. מה שהוא סמל ופרשנות: ה-11 כשער, כדעת או כממד נסתר. שתי השפות יפות, וכדאי לדעת באיזו מהן מדברים.
להקשיב לסדק
אולי זה מה שההרמוניה ה-11 מלמדת. לא סוד מתמטי שפותר את היקום, אלא תנועה של הקשבה. היא נמצאת בתוך כל צליל, ובכל זאת בנינו מוזיקה שלמה שמתעלמת ממנה. היא מצוירת בכל מעגל, ובכל זאת אי אפשר לבנות אותה בכלים הטהורים. היא לא פגם בשלם. היא תזכורת שהשלם תמיד גדול קצת יותר מהתבנית שבנינו לו.
ואולי השאלה שכדאי לקחת מכאן היא לא "מה המשמעות של המספר 11?", אלא שאלה קטנה ומקשיבה יותר: איזה צליל בחיים שלך נשמע לך עד היום כמו זיוף, ואולי הוא בעצם הרמוניה שעוד לא התרגלת אליה?
לקריאה ולהעמקה
את המשנה הרביעית בספר יצירה, בהקשר המלא שלה, אפשר לקרוא בספריא. על הסולם של פרץ' ועל היחסים שבו יש סקירה מפורטת בוויקיפדיה האנגלית. ולמי שרוצה להבין למה גבישים לא יכולים להחזיק סימטריה של 11, יש הסבר טוב על משפט ההגבלה הקריסטלוגרפית.
